回复：一问题
1）问题分析
查找有关流体在圆柱形管子中流动的资料，获得如下物理学的结果：
在单位时间内流体流过管子的体积 。
V=Pi*p*r^4/8qs
这里r表示管子半径，s表示管子长度，p表示管子两端的压力差，q表示流体的粘滞度。pi表示圆周率。
实验结果表明： 当压力差p增加，且在[0,r0/2a] 内，半径r按照方程r=r0-ap 减小,其中r0为无压力差时的管子半径，a为正的常数。
我们将人体气管看作一个圆柱形的管子。并用r表示气管半径，s表示气管长度，p表示气管两端的压力差，q表示流体的粘滞度。于是我们可以使用如上的结果。
由于人在咳嗽时气管的压力差增加，因此由实验结果，有r=r0-ap 在0<=p<=r0/2a时成立。从r=r0-ap 解出p，则有
p=r0-r/a ,
有 v=Pi*(r0-r)*r^4/8qs=k(r0-r)r^4, k=Pi/8aqs,r0/2<=r<=r0.
由于s和q在咳嗽过程中通常不发生变化，因此上式中的k是常数。于是在咳嗽过程中单位时间内流体流过气管的体积 V只是r的函数，即V=V(r)。为解决本题问题，从考虑V(r)取最大值时r的取值情况着手。由
V'(r)= kr3(4r0-5r)=0
得到驻点r1=0（舍去）和 r2=4r0/5.
V"(r)=4 k r 2 (-5 r + 3 r0)
V"(r2)=-64kr0^3/25<0.
因此由极值的充分条件，V(r)在r=r2时取得极大值，由于本题在考虑的范围内有唯一极值点，因此V(r)在r=r2也取得最大值。
于是有在半径r= r2=4r0/5,时单位时间内流体流过气管的体积最大。由于4r0/5<r0, 说明气管半径缩小可以在单位时间内流体流过的体积最大，从而有利于空气在气管里的流动。因此我们说，咳嗽时气管在一定范围内收缩有助于咳嗽，可以促进气管内空气的流动与气管中异物的快速排出。
2)实验步骤(mathemaica实现)
In[1]:= Clear[v,r]
v[r_]:=k*(r0-r)*r^4
In[2]:= v1=D[v[r],r]
Out[2]= -(k r 4) + 4 k r3 (-r + r0)
In[3]:= Simplify[v1]
Out[3]= k r 3 (-5r + 4r0)
In[3]:= Solve[v1==0,r]
Out[3]= {{r -> 0}, {r -> 0}, {r -> 0}, }
In[4]:= v2=D[v[r],{r，2}]
Out[4]= -8 k r 3 + 12 k r2 (- r + r0)
In[5]:= Simplify[v2]
Out[5]= 4 k r2 (-5r+ 3r0)
In[6]:= %/.r->4/5*r0 Out[6]= - 64kr0^3/25 .
